Bài tập 13, § 6

Cho A (tương ứng C) là một ma trận vuông thực (tương ứng phức) kiểu $(I,I)$. Ta giả sử rằng A là dương và bất khả quy và rằng $C^+\preccurlyeq A$, trong đó, tương tự như Bài tập 12, ta ký hiệu bởi $C^+$ ma trận có các hệ số là các môđun của các hệ số của C, và ta viết $C^+\preccurlyeq A$ để chỉ rằng các hệ số của $A-C^+$ là dương.

Ta sử dụng lại các ký hiệu của bài tập trước.

a) Cho $\gamma \in \mathbf{C}$ là một trị riêng của C và cho $y$ trong $\mathbf{C}^I$ là một vectơ riêng liên kết. Ta có $|\gamma |y^+\preccurlyeq C^+y^+\preccurlyeq Ay^+$ và $|\gamma |\leqslant r_{y^+}\leqslant r$.

b) Ta giả sử thêm rằng $|\gamma |=r$. Khi đó $y^+$ là một vectơ cực biên đối với A (xem câu hỏi f) của Bài tập 12), và ta có các hệ thức $Ay^+=C^+y^+=ry^+$ và A = $C^+$.

Cho $u$ (tương ứng $u_j$, với $j\in I$) là số phức duy nhất sao cho $\gamma =|\gamma |u$ (tương ứng $y_j=|y_j|u_j$, với $j\in I$). Cho D là ma trận vuông phức kiểu $(I,I)$ có các hệ số đường chéo là $(u_j)_{j\in I}$ và các hệ số khác đều bằng không, sao cho $y=Dy^+$. Cho F $=u^{-1}D^{-1}$ CD.

c) Ta có $Fy^+=ry^+$ và $F^+y^+=Fy^+$. (Nhận xét rằng $F^+=C^+.$)

d) Ta có F = $F^+$ và C $=u$DAD$^{-1}$.