Exercice 14, § 6

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$, positive et irréductible. On reprend les notations de l’exercice 12.

Soit $(\lambda_h)_{h\in H}$ la famille des valeurs propres complexes de A qui sont de module $r$, répétées avec leurs multiplicités ; on pose $v_h=\lambda_h/r$ pour tout $h\in H$.

Soit $h\in H$; d’après l’exercice 13 appliqué à C = A et $\gamma =\lambda_h$, il existe une matrice $D_{(h)}$ telle que A $=v_hD_{(h)}$AD$_{(h)}^{-1}$ et $D_{(h)}^+= 1_I$.

a) Soit $z\succ 0$ un vecteur extrémal de A. Pour $h\in H$, le vecteur $y_{(h)}=D_{(h)}z$ est un vecteur propre de A pour la valeur propre $\lambda_h$. b) Montrer que pour $h\in H$, la valeur propre $\lambda_h$ de A est simple. En déduire que les matrices $D_{(h)}$ et les vecteurs $y_{(h)}$ sont uniquement déterminés à un facteur scalaire près.

c) Montrer que, pour tous $h$ et $k$ dans $H^2$, on a A $=u_hu^{-1}_kD_{(h)}D_{(k)}^{-1}$AD$_{(k)}D_{(h)}^{-1}$ et donc que le vecteur $D_{(h)}D_{(k)}^{-1}z$ est un vecteur propre de A associé à la valeur propre $u_hu^{-1}_kr$.

d) En déduire que $\{u_h\}_{h\in H}$ est un sous-groupe de $\mathbf{C}^*$ et qu’il existe une famille $(\mu_h)_{h\in H}$ de nombres complexes non nuls telle que $\{\mu^{-1}_hD_{(h)}\}_{h\in H}$ soit un sous-groupe du groupe des matrices inversibles de type $(I,I)$ à coefficients complexes, et que ces sous-groupes sont cycliques d’ordre Card(H). (Choisir un indice $i\in I$ et normaliser $D_{(h)}$ de sorte que son coefficient d’indices de ligne et de colonne $i$ soit égal à 1.)

Dans la suite de l’exercice, on suppose que $H =\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}$ et qu’il existe $\omega \in \mathbf{C}^*$ tel que $\omega^d= 1$ et tel que $u_h=\omega^h$ pour $h\in H$. En posant D = $D_{(1)}$, on a alors $D^d= 1_I$ et $D_{(h)}=D^h$ pour tout $h\in H$.

e) En déduire que A $=\omega$DAD$^{-1}$.

On considère la partition $(I_h)_{h\in H}$ de I, de sorte que pour $i\in I$, le coefficient d’indice $(i, i)$ de D soit égal à $\omega^h$ si et seulement si $i\in I_h$. Pour tout $h$, on pose $n_h=$ Card(I$_h$). La matrice D s’écrit « par blocs »

D = . ..

et on considère la décomposition correspondante de A :

A = ... ... . .. ...,

de sorte que pour $h, k\in H,A_{h,k}$ est une matrice de type $(I_h,I_k)$.

f) Pour tous $(h, k)\in H$, on a $\omega A_{h,k}=\omega^{k-h}A_{h,k}$. En déduire que $A_{h,k}= 0$ si $k-h\not = 1$.