Bài tập 14, § 6

Cho A là một ma trận vuông thực kiểu $(I,I)$, dương và bất khả quy. Ta nhắc lại ký hiệu của Bài tập 12.

Cho $(\lambda_h)_{h\in H}$ là họ các trị riêng phức của A có môđun là $r$, lặp lại với các bội của chúng; đặt $v_h=\lambda_h/r$ với mọi $h\in H$.

Cho $h\in H$; theo Bài tập 13 áp dụng cho C = A và $\gamma =\lambda_h$, tồn tại một ma trận $D_{(h)}$ sao cho A $=v_hD_{(h)}$AD$_{(h)}^{-1}$ và $D_{(h)}^+= 1_I$.

a) Cho $z\succ 0$ là một vectơ cực biên của A. Với $h\in H$, vectơ $y_{(h)}=D_{(h)}z$ là một vectơ riêng của A ứng với trị riêng $\lambda_h$. b) Bây giờ chứng minh rằng với $h\in H$, trị riêng $\lambda_h$ của A là đơn. Suy ra rằng các ma trận $D_{(h)}$ và các vectơ $y_{(h)}$ được xác định duy nhất sai khác một nhân tử vô hướng.

c) Bây giờ chứng minh rằng, với mọi $h$ và $k$ trong $H^2$, ta có A $=u_hu^{-1}_kD_{(h)}D_{(k)}^{-1}$AD$_{(k)}D_{(h)}^{-1}$ và do đó vectơ $D_{(h)}D_{(k)}^{-1}z$ là một vectơ riêng của A liên kết với trị riêng $u_hu^{-1}_kr$.

d) Suy ra rằng $\{u_h\}_{h\in H}$ là một nhóm con của $\mathbf{C}^*$ và tồn tại một họ $(\mu_h)_{h\in H}$ các số phức khác không sao cho $\{\mu^{-1}_hD_{(h)}\}_{h\in H}$ là một nhóm con của nhóm các ma trận khả nghịch kiểu $(I,I)$ với các hệ số phức, và các nhóm con này là cyclic có cấp Card(H). (Chọn một chỉ số $i\in I$ và chuẩn hóa $D_{(h)}$ sao cho hệ số với các chỉ số hàng và cột $i$ của nó bằng 1.)

Trong phần còn lại của bài tập, giả sử rằng $H =\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}$ và tồn tại $\omega \in \mathbf{C}^*$ sao cho $\omega^d= 1$ và sao cho $u_h=\omega^h$ với $h\in H$. Đặt D = $D_{(1)}$, khi đó có $D^d= 1_I$ và $D_{(h)}=D^h$ với mọi $h\in H$.

e) Suy ra rằng A $=\omega$DAD$^{-1}$.

Xét phân hoạch $(I_h)_{h\in H}$ của I, sao cho với $i\in I$, hệ số với chỉ số $(i, i)$ của D bằng $\omega^h$ khi và chỉ khi $i\in I_h$. Với mỗi $h$, đặt $n_h=$ Card(I$_h$). Ma trận D được viết "thành các khối"

D = . ..

và ta xét phân tích tương ứng của A:

A = ... ... . .. ...,

sao cho với $h, k\in H,A_{h,k}$ là một ma trận kiểu $(I_h,I_k)$.

f) Với mọi $(h, k)\in H$, ta có $\omega A_{h,k}=\omega^{k-h}A_{h,k}$. Suy ra $A_{h,k}= 0$ nếu $k-h\not = 1$.