Exercice 15, § 6

On reprend les hypothèses et notations de l’exercice 12. Soit $\Delta_1(X)$ le plus grand commun diviseur des coefficients de B(X) ; le polynôme $\Delta_1(X)$ est supposé unitaire.

a) Le polynôme $\Delta_1(X)$ divise Δ(X) et $\Delta_1(r)\not = 0$.

b) En déduire que les racines réelles de $\Delta_1(X)$ sont strictement plus petites que $r$. En conclure que $\Delta_1(r)>0$. c) Posons C$(X) =\frac{1}{\Delta_1(X)}B$(X). C’est une matrice à coefficients dans $\mathbf{R}[X]$. Montrer que C$(r)\succ 0$.