Exercice 16, § 6

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$, positive et irréductible. Pour tout $j\in I$, posons $s_j=\sum_{k\in I}a_{jk}$,

$s=$ inf$_{j\in I}s_j$, et S = sup$_{j\in I}s_j$.

Adoptons aussi les notations $r$ et B(X) de l’exercice 12.

a) On a $\sum_{j\in I}(r-s_j)B_{kj}(r) = 0$.

b) En déduire que $s\leqslant r\leqslant S$ et que le cas d’égalité dans l’une de ces deux inégalités entraîne que $s= S$.