Exercice 18, § 6

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$, positive et irréductible. Soit $\varrho$ le rayon spectral de A. Pour tout $x\in \mathbf{R}^I$ tel que $y\succcurlyeq 0$ et $x\not = 0$, on pose

$\varrho^x=$ sup$_{i\in I}\frac{(Ax)_i}{x_i}$,

(avec la convention $\varrho^x= +\infty$ s’il existe un indice $i$ tel que $x_i= 0$ et ($Ax$)$_i\not = 0$). Soit

$\varrho '=$ inf$_{xx\succ\not=00}\varrho^x$.

En suivant une démarche similaire à celle de l’exercice 12, montrer que $\varrho '$ est une valeur propre de A et que $\varrho '=\varrho$.