Bài tập 18, § 6

Cho $A$ là một ma trận vuông thực kiểu $(I,I)$, dương và bất khả quy. Gọi $\varrho$ là bán kính phổ của A. Với mọi $x\in \mathbf{R}^I$ sao cho $y\succcurlyeq 0$ và $x\not = 0$, ta đặt

$\varrho^x=$ sup$_{i\in I}\frac{(Ax)_i}{x_i}$,

(với quy ước $\varrho^x= +\infty$ nếu tồn tại một chỉ số $i$ sao cho $x_i= 0$ và ($Ax$)$_i\not = 0$). Đặt

$\varrho '=$ inf$_{xx\succ\not=00}\varrho^x$.

Theo một quy trình tương tự như quy trình của bài tập 12, bây giờ chứng minh rằng $\varrho '$ là một trị riêng của A và rằng $\varrho '=\varrho$.