Exercice 2, § 6

Étiquette 02VF, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 02VF].

Théories spectrales, III, p. 129

On conserve les notations de l’exercice précédent. On suppose que A contient le cercle unité $\mathbf{U}$ dans $\mathbf{C}$ et que $0\notin A$ . On note $\varphi_A$ la fonction caractéristique de A.

a) L’application

\ell :f\mapsto \frac{1}{2i\pi}\int_{\mathbf{U}}f(z)dz

est une forme linéaire continue sur B(A).

b) Soit $h$ l’endomorphisme de rang fini de B(A) tel que $h(f) =\ell (f)\varphi_A$ . Le spectre essentiel de $u-h$ est distinct de celui de $u$ . (Montrer qu’il contient 0.)

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