Exercice 21, § 6

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$, positive ; soit $\varrho$ son rayon spectral.

a) Démontrer qu’il existe des entiers $p$ et $q$ tels que $0\leqslant q\leqslant p$ et une partition $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant p}$ de I en parties non vides telle que la décomposition correspondante par blocs A = ($A_{s,t}$)$_{1\leqslant s,t\leqslant p}$ ait la propriété suivante :

– Les matrices $A_{s,s}$ sont irréductibles ;

– On a $A_{s,t}= 0$ si $t > s$;

– On a $A_{s,t}= 0$ si $1\leqslant t < s\leqslant q$;

– Pour tout entier $s$ tel que $q\leqslant s\leqslant p$, il existe $t$ tel que $A_{s,t}\not = 0$.

b) Déterminer toutes les possibilités pour une telle partition. (Prouver en particulier que les entiers $q$ et $p$ sont uniquement déterminés, de même que les ensembles $\{I_1, . . . ,I_g\}$ et les ensembles $\{I_{q+1}, . . . ,I_p\}.$) c) Il existe un vecteur propre $z\succ 0$ de A associé à la valeur propre $\varrho$ si et seulement si, pour tout entier $s\in [1, p]$, le rayon spectral de $A_{s,s}$ est égal à $\varrho$ si $s\leqslant q$ et est strictement inférieur à $\varrho$ sinon.

d) En conclure que pour que A et $^tA$ admettent toutes deux un vecteur extrémal strictement positif, il faut et il suffit qu’il existe une partition comme ci-dessus telle que $A_{s,t}= 0$ pour $1\leqslant t < s$ et $q < s\leqslant p$, et telle que les matrices $A_{s,s}$ pour $s\leqslant q$ aient un rayon spectral égal à $\varrho$.

e) Si A et $^tA$ admettent toutes deux un vecteur extrémal strictement positive, et si $\varrho$ est de multiplicité spectrale égale à 1, alors A est irréductible.