Bài tập 21, § 6

Cho A là một ma trận vuông thực kiểu $(I,I)$, dương; cho $\varrho$ là bán kính phổ của nó.

(a) Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $p$ và $q$ sao cho $0\leqslant q\leqslant p$ và một phân hoạch $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant p}$ của I thành các phần không rỗng sao cho phân tích khối tương ứng A = ($A_{s,t}$)$_{1\leqslant s,t\leqslant p}$ có tính chất sau:

– Các ma trận $A_{s,s}$ là bất khả quy ;

– Ta có $A_{s,t}= 0$ nếu $t > s$;

– Ta có $A_{s,t}= 0$ nếu $1\leqslant t < s\leqslant q$;

– Với mọi số nguyên $s$ sao cho $q\leqslant s\leqslant p$, tồn tại $t$ sao cho $A_{s,t}\not = 0$.

(b) Xác định mọi khả năng đối với một phân hoạch như vậy. (Đặc biệt, chứng minh rằng các số nguyên $q$ và $p$ được xác định duy nhất, tương tự các tập hợp $\{I_1, . . . ,I_g\}$ và các tập hợp $\{I_{q+1}, . . . ,I_p\}.$)

(c) Tồn tại một vectơ riêng $z\succ 0$ của A liên kết với trị riêng $\varrho$ khi và chỉ khi, với mọi số nguyên $s\in [1, p]$, bán kính phổ của $A_{s,s}$ bằng $\varrho$ nếu $s\leqslant q$ và nhỏ ngặt hơn $\varrho$ trong trường hợp ngược lại.

(d) Kết luận rằng để A và $^tA$ đều có một vectơ cực biên dương ngặt, điều kiện cần và đủ là tồn tại một phân hoạch như trên sao cho $A_{s,t}= 0$ với $1\leqslant t < s$ và $q < s\leqslant p$, và sao cho các ma trận $A_{s,s}$ với $s\leqslant q$ có bán kính phổ bằng $\varrho$.

(e) Nếu A và $^tA$ đều có một vectơ cực biên dương ngặt, và nếu $\varrho$ có bội số phổ bằng 1, thì A là bất khả quy.