Exercice 22, § 6

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$, positive et irréductible ; soit $\varrho$ son rayon spectral. Soit $d\geqslant 1$ l’entier déterminé par l’exercice 14. On dira que A est primitive si $d= 1$. Soit Δ(X) le polynôme det(X $\cdot 1_I-A$).

a) On écrit $\Delta (X) = X^n+a_1X^{n_1}+\cdots +a_tX^{n_t}$, où $a_1, . . . , a_t$ sont des nombres réels non nuls et $n_1, . . . , n_t$ des entiers naturels tels que $n > n_1>$ $\cdots > n_t$. Démontrer que $d$ est le plus grand commun diviseur de $n-n_1$, $n_1-n_2, . . . , n_{t-1}-n_t$.

b) Il existe un entier $m$ non nul et un polynôme $g$ tels que $\Delta (X) =g(X^d)X^m$. c) S’il existe un entier $p >0$ tel que $A^p$ est strictement positive, alors A est primitive.

d) Supposons que A soit primitive. Introduisons les matrices C (X) de l’exercice 15 et posons, avec les notations de cet exercice, $\mathsf{X}(X) = \Delta (X)/\Delta_1(X)$. La limite de la suite ($A^k/\varrho^k$)$_{k\in\mathbf{N}}$ est égale à C$(\varrho )/\mathsf{X}'(\varrho )$. (On pourra utiliser une décomposition de A en blocs de Jordan.) En utilisant les résultats de l’exercice 15, en déduire qu’il existe un entier $p >0$ tel que $A^p$ soit strictement positive.

e) On suppose qu’il existe un entier $q >0$ tel que $A^q$ est réductible. Soit $p$ le plus grand diviseur commun de $q$ et $d$. Prouver qu’il existe une partition $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant p}$ de I en parties non vides pour laquelle $A^q$ est diagonale par blocs, de blocs diagonaux irréductibles et de rayon spectral $\varrho^q$.

f) Si A est primitive, alors $A^p$ est irréductible pour tout $p >0$.

g) Il existe une partition $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant d}$ de I en parties non vides pour laquelle $A^d$ est diagonale par blocs, de blocs diagonaux primitifs et de rayon spectral égal à $\varrho^d$.