Bài tập 22, § 6

Cho A là một ma trận vuông thực kiểu $(I,I)$, dương và bất khả quy; cho $\varrho$ là bán kính phổ của nó. Cho $d\geqslant 1$ là số nguyên được xác định bởi bài tập 14. Ta sẽ nói rằng A là nguyên thủy nếu $d= 1$. Cho Δ(X) là đa thức det(X $\cdot 1_I-A$).

a) Ta viết $\Delta (X) = X^n+a_1X^{n_1}+\cdots +a_tX^{n_t}$, trong đó $a_1, . . . , a_t$ là các số thực khác không và $n_1, . . . , n_t$ là các số nguyên tự nhiên sao cho $n > n_1>$ $\cdots > n_t$. Bài tập chứng minh rằng $d$ là ước chung lớn nhất của $n-n_1$, $n_1-n_2, . . . , n_{t-1}-n_t$.

b) Tồn tại một số nguyên khác không $m$ và một đa thức $g$ sao cho $\Delta (X) =g(X^d)X^m$.

c) Nếu tồn tại một số nguyên $p >0$ sao cho $A^p$ là dương ngặt, thì A là nguyên thủy.

d) Giả sử rằng A là nguyên thủy. Đưa vào các ma trận C (X) của bài tập 15 và đặt, với các ký hiệu của bài tập này, $\mathsf{X}(X) = \Delta (X)/\Delta_1(X)$. Giới hạn của dãy ($A^k/\varrho^k$)$_{k\in\mathbf{N}}$ bằng C$(\varrho )/\mathsf{X}'(\varrho )$. (Có thể sử dụng một phân tích của A thành các khối Jordan.) Sử dụng các kết quả của bài tập 15, suy ra rằng tồn tại một số nguyên $p >0$ sao cho $A^p$ là dương ngặt.

e) Giả sử rằng tồn tại một số nguyên $q >0$ sao cho $A^q$ là khả quy. Gọi $p$ là ước chung lớn nhất của $q$ và $d$. Chứng minh rằng tồn tại một phân hoạch $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant p}$ của I thành các phần khác rỗng sao cho $A^q$ là đường chéo khối, với các khối đường chéo bất khả quy và bán kính phổ $\varrho^q$.

f) Nếu A là nguyên thủy, thì $A^p$ là bất khả quy với mọi $p >0$.

g) Tồn tại một phân hoạch $(I_s)_{1\leqslant s\leqslant d}$ của I thành các phần khác rỗng sao cho $A^d$ là đường chéo khối, với các khối đường chéo nguyên thủy và bán kính phổ bằng $\varrho^d$.