Exercice 23, § 6

Soit P une matrice carrée réelle de type $(I,I)$; on dit que P est stochastique si elle est positive et si le vecteur $(1, . . . ,1)\in \mathbf{R}^I$ est un vecteur propre de P associé à la valeur propre 1.

Soit A une matrice carrée réelle de type $(I,I)$. Prouver que A est positive et admet un vecteur extrémal strictement positif si et seulement si il existe une matrice stochastique P, un nombre réel $r >0$ et une matrice diagonale Z à coefficients diagonaux strictement positifs tels que A $=r$ZPZ$^{-1}$. Dans ce cas le rayon spectral de A est égal à $r$ et un vecteur extrémal de A est Z$(1, . . . ,1)$.