Bài tập 23, § 6

Cho P là một ma trận bình phương thực kiểu $(I,I)$; người ta nói rằng P là ngẫu nhiên nếu nó là dương và nếu vectơ $(1, . . . ,1)\in \mathbf{R}^I$ là một vectơ riêng của P liên kết với trị riêng 1.

Cho A là một ma trận bình phương thực kiểu $(I,I)$. Chứng minh rằng A là dương và có một vectơ cực biên dương ngặt khi và chỉ khi tồn tại một ma trận ngẫu nhiên P, một số thực $r >0$ và một ma trận đường chéo Z với các hệ số đường chéo dương ngặt sao cho A $=r$ZPZ$^{-1}$. Trong trường hợp này bán kính phổ của A bằng $r$ và một vectơ cực biên của A là Z$(1, . . . ,1)$.