Exercice 24, § 6

a) Soit P une matrice carrée réelle stochastique d’ordre $n$. Le nombre réel 1 est une racine simple du polynôme minimal de P. (On pourra utiliser l’exercice 20.) De plus, toute racine de module 1 du polynôme minimal de P est simple.

b) Soit A une matrice réelle positive admettant un vecteur extrémal $\succ 0$ et de rayon spectral $\varrho$. Toutes les racines de module $\varrho$ du polynôme minimal de A sont simples.

Dans les exercices 25 à 30, on considère un espace de Fréchet réel E et un cône convexe fermé C de E, supposé d’intérieur non vide. La relation d’ordre sur E induite par C est notée $\preccurlyeq_C$. Ainsi, pour $x,y$ dans E, on a $x\succcurlyeq_Cy$ si et seulement si $x-y\in C$. On écrira $x\succ_Cy$ pour la relation $x-y\in \mathring{C}$.

On considère une application continue $u: E\rightarrow E$ vérifiant les conditions suivantes :

(i) L’application $u$ est positivement homogène : on a $u(\lambda x) =\lambda u(x)$ pour tout nombre réel $\lambda \geqslant 0$ ;

(ii) L’application $u$ est croissante relativement à C, c’est-à-dire que $x\succcurlyeq_Cy$ implique $u(x)\succcurlyeq_Cu(y)$;

(iii) Pour tout $x\in C-\{0\}$, on a $u(x)\in \mathring{C}$.

Le but de ces exercices, tirés du cours de P.-L. Lions au Collège de France, 2020/2021, est de démontrer, sous certaines conditions, qu’il existe un élément $x\in C-\{0\}$ et $\lambda >0$ tels que $x=\lambda u(x)$; cela fournit en particulier une autre démonstration du théorème de Krein–Rutman (III, p. 94, th. 4 et III, p. 97, prop. 8).

Pour $f\in \mathring{C}$ et $\lambda \in \mathbf{R}_+$, on appelle solution supérieure (resp. solution inférieure) de l’équation $y=\lambda u(y)+f$ un élément $y\in C$ tel que $y\succcurlyeq_C\lambda u(y)+f$ (resp. tel que $y\preccurlyeq_C\lambda u(y) +f$). On note $U_f$ l’ensemble des $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tels que l’ensemble des solutions supérieures de l’équation $y=\lambda u(y) +f$ est non vide.