Bài tập 24, § 6

(a) Cho $P$ là một ma trận vuông thực ngẫu nhiên cấp $n$. Số thực 1 là một nghiệm đơn của đa thức tối tiểu của $P$. (Có thể sử dụng Bài tập 20.) Hơn nữa, mọi nghiệm có môđun 1 của đa thức tối tiểu của $P$ đều là nghiệm đơn.

(b) Cho $A$ là một ma trận thực dương thừa nhận một vectơ cực trị $\succ 0$ và có bán kính phổ $\varrho$. Tất cả các nghiệm có môđun $\varrho$ của đa thức tối tiểu của $A$ đều là nghiệm đơn.

Trong các Bài tập 25 đến 30, ta xét một không gian Fréchet thực E và một nón lồi đóng C của E, được giả sử có phần trong khác rỗng. Quan hệ thứ tự trên E cảm sinh bởi C được ký hiệu bởi $\preccurlyeq_C$. Như vậy, với $x,y$ trong E, ta có $x\succcurlyeq_Cy$ khi và chỉ khi $x-y\in C$. Ta sẽ viết $x\succ_Cy$ cho quan hệ $x-y\in \mathring{C}$.

Ta xét một ánh xạ liên tục $u: E\rightarrow E$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Ánh xạ $u$ là thuần nhất dương: ta có $u(\lambda x) =\lambda u(x)$ với mọi số thực $\lambda \geqslant 0$ ;

(ii) Ánh xạ $u$ là tăng đối với C, nghĩa là $x\succcurlyeq_Cy$ kéo theo $u(x)\succcurlyeq_Cu(y)$;

(iii) Với mọi $x\in C-\{0\}$, ta có $u(x)\in \mathring{C}$.

Mục đích của các bài tập này, được lấy từ khóa học của P.-L. Lions tại Collège de France, 2020/2021, là chứng minh, dưới một số điều kiện nhất định, rằng tồn tại một phần tử $x\in C-\{0\}$ và $\lambda >0$ sao cho $x=\lambda u(x)$; điều này đặc biệt cung cấp một chứng minh khác của định lý Krein–Rutman (III, p. 94, th. 4 và III, p. 97, prop. 8).

Với $f\in \mathring{C}$ và $\lambda \in \mathbf{R}_+$, ta gọi một nghiệm trên (tương ứng nghiệm dưới) của phương trình $y=\lambda u(y)+f$ là một phần tử $y\in C$ sao cho $y\succcurlyeq_C\lambda u(y)+f$ (tương ứng sao cho $y\preccurlyeq_C\lambda u(y) +f$). Ta ký hiệu bởi $U_f$ tập hợp các $\lambda \in \mathbf{R}_+$ sao cho tập hợp các nghiệm trên của phương trình $y=\lambda u(y) +f$ là khác rỗng.