Exercice 25, § 6

a) Démontrer que pour tout $x\in C$ et tout $y\in \mathring{C}$, il existe un nombre réel $\lambda \geqslant 0$ tel que $x\preccurlyeq_C\lambda y$.

b) L’ensemble $U_f$ est un intervalle qui contient 0.

On introduit les conditions suivantes sur l’application $u$.

(iv) Pour tout $\lambda \in \mathbf{R}_+$, tout $f\in \mathring{C}$, toute suite $(x_n)$ d’éléments de C qui vérifie $x_{n+1}=\lambda u(x_n) +f$ pour tout $n$ et qui soit, soit croissante et majorée, soit décroissante, est convergente ;

(v) L’image par $u$ de toute partie bornée de E est relativement compacte.

(vi) Pour toute application $\lambda \mapsto \varepsilon_{\lambda}$ de $U_f$ dans C telle que lim$_{\lambda\rightarrow\lambda_m}\varepsilon_{\lambda}= 0$, l’ensemble

$\{z\in C|$ il existe $\lambda \in U_f$ tel que $z=\lambda u(z) +\varepsilon_{\lambda}\}$

est relativement compact dans E.