Bài tập 25, § 6

(a) Chứng minh rằng với mọi $x\in C$ và mọi $y\in \mathring{C}$, tồn tại một số thực $\lambda \geqslant 0$ sao cho $x\preccurlyeq_C\lambda y$.

(b) Tập hợp $U_f$ là một khoảng chứa 0.

Các điều kiện sau được đưa vào trên ánh xạ $u$.

(iv) Với mọi $\lambda \in \mathbf{R}_+$, mọi $f\in \mathring{C}$, mọi dãy $(x_n)$ các phần tử của C thỏa mãn $x_{n+1}=\lambda u(x_n) +f$ với mọi $n$ và hoặc tăng và bị chặn trên, hoặc giảm, đều hội tụ ;

(v) Ảnh qua $u$ của mọi tập con bị chặn của E là tương đối compact.

(vi) Với mọi ánh xạ $\lambda \mapsto \varepsilon_{\lambda}$ của $U_f$ vào C sao cho lim$_{\lambda\rightarrow\lambda_m}\varepsilon_{\lambda}= 0$, tập hợp

$\{z\in C|$ tồn tại $\lambda \in U_f$ sao cho $z=\lambda u(z) +\varepsilon_{\lambda}\}$

là tương đối compact trong E.