Exercice 26, § 6

On reprend les notations et hypothèses précédentes et on suppose en outre que la condition (iv) est satisfaite.

a) Soit $\lambda \in U_f$. Définissons une suite $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ par $x_0$ = 0 et $x_{n+1}$ = $\lambda u(x_n) +f$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. Elle est croissante et majorée ; on a $x_n\in \mathring{C}$ pour $n\geqslant 1$.

b) D’après la condition (iv), la suite $(x_n)$ converge ; notons $x(\lambda )$ sa limite. Prouver que l’on a $x(\lambda )\in \mathring{C}$ et $x(\lambda ) =\lambda u(x(\lambda )) +f$.

c) Soit $\lambda \in U_f$ et soit $y\in C$ tel que $y\succcurlyeq_C\lambda u(y) +f$; la suite définie par $x_0=y,x_{n+1}=\lambda u(x_n) +f$ est décroissante, à valeurs dans C, et sa limite $x$ vérifie l’équation $x=\lambda u(x) +f$.

d) La borne supérieure de $U_f$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ n’appartient pas à $U_f$.

e) On a $U_g= U_f$ pour tout $g\in \mathring{C}$. (Pour tout $\lambda \in U_f$, soit $x\in C$ tel que $x\succcurlyeq_C\lambda u(x) +f$; alors il existe $M>0$ tel que $y= Mx$ satisfait $y\succcurlyeq_C\lambda u(y) +g.$) f) Soient $\lambda \leqslant \mu$ des nombres réels. Soient $x$ une solution inférieure de l’équation $y=\lambda u(y) +f$ et $x'$ une solution supérieure de l’équation $y=$ $\mu u(y) +f$. On a alors $x\preccurlyeq_Cx'$. (Montrer que l’ensemble des $\varepsilon \in [0,1]$ tels que $\varepsilon x\preccurlyeq_Cx'$ coïncide avec $[0,1].$)

g) Si C est saillant, alors pour tout $\lambda \in U_f$, il existe un unique élément $x\in \mathring{C}$ tel que $x=\lambda u(x) +f$.

h) Soit $\mu\in \mathbf{R}_+$ tel que $f\preccurlyeq_C\mu u(f)$. On a alors $\mu \notin U_f$. (La suite $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ définie par $x_0= 0$ et $x_{n+1}=\mu u(x_n) +f$ vérifie $x_{n+1}-x_n\succcurlyeq_Cf$ pour tout $n\in \mathbf{N}.$) En particulier, l’intervalle $U_f$ est borné. On note dorénavant $\lambda_m$ la borne supérieure de $U_f$.

i) Soient $z\in C-\{0\}$ et $\mu\in \mathbf{R}_+$ tels que $\mu u(z)\succcurlyeq_Cz$. On a alors $\lambda_m\leqslant \mu$, et donc

$\lambda_m\leqslant_z$inf$_{\in C-\{0\}}$ inf$\{\mu|z\leqslant \mu u(z)\}$.

j) L’application $\lambda \mapsto x(\lambda )$ (où $x(\lambda )$ est défini dans la question a)) est croissante.

k) L’application $\lambda \mapsto x(\lambda )$ n’a pas de limite quand $\lambda$ tend vers $\lambda_m$. Plus précisément, si $(\lambda_n)_n$ est une suite de $U_f$ qui tend vers $\lambda_m$, alors la suite $(x(\lambda_n))_n$ n’est pas convergente.