Bài tập 26, § 6

Ta giữ lại các ký hiệu và giả thiết trước đó, và giả sử thêm rằng điều kiện (iv) được thỏa mãn.

a) Cho $\lambda \in U_f$. Định nghĩa một dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ bởi $x_0$ = 0 và $x_{n+1}$ = $\lambda u(x_n) +f$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Dãy này tăng và bị chặn trên; ta có $x_n\in \mathring{C}$ với $n\geqslant 1$.

b) Theo điều kiện (iv), dãy $(x_n)$ hội tụ; ký hiệu giới hạn của nó là $x(\lambda )$. Chứng minh rằng ta có $x(\lambda )\in \mathring{C}$ và $x(\lambda ) =\lambda u(x(\lambda )) +f$.

c) Cho $\lambda \in U_f$ và cho $y\in C$ sao cho $y\succcurlyeq_C\lambda u(y) +f$; dãy được định nghĩa bởi $x_0=y,x_{n+1}=\lambda u(x_n) +f$ là giảm, có các giá trị trong C, và giới hạn $x$ của nó thỏa mãn phương trình $x=\lambda u(x) +f$.

d) Cận trên nhỏ nhất của $U_f$ trong $\overline{\mathbf{R}}_+$ không thuộc $U_f$.

e) Ta có $U_g= U_f$ với mọi $g\in \mathring{C}$. (Với mọi $\lambda \in U_f$, cho $x\in C$ sao cho $x\succcurlyeq_C\lambda u(x) +f$; khi đó tồn tại $M>0$ sao cho $y= Mx$ thỏa mãn $y\succcurlyeq_C\lambda u(y) +g.$) f) Cho $\lambda \leqslant \mu$ là các số thực. Cho $x$ là một nghiệm dưới của phương trình $y=\lambda u(y) +f$ và $x'$ là một nghiệm trên của phương trình $y=$ $\mu u(y) +f$. Khi đó ta có $x\preccurlyeq_Cx'$. (Chứng minh rằng tập hợp các $\varepsilon \in [0,1]$ sao cho $\varepsilon x\preccurlyeq_Cx'$ trùng với $[0,1].$)

g) Nếu C là nhọn, thì với mọi $\lambda \in U_f$, tồn tại một phần tử duy nhất $x\in \mathring{C}$ sao cho $x=\lambda u(x) +f$.

h) Cho $\mu\in \mathbf{R}_+$ sao cho $f\preccurlyeq_C\mu u(f)$. Khi đó $\mu \notin U_f$. (Dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ được định nghĩa bởi $x_0= 0$ và $x_{n+1}=\mu u(x_n) +f$ thỏa mãn $x_{n+1}-x_n\succcurlyeq_Cf$ với mọi $n\in \mathbf{N}.$) Đặc biệt, khoảng $U_f$ bị chặn. Từ nay về sau ta ký hiệu $\lambda_m$ là cận trên nhỏ nhất của $U_f$.

i) Cho $z\in C-\{0\}$ và $\mu\in \mathbf{R}_+$ sao cho $\mu u(z)\succcurlyeq_Cz$. Khi đó $\lambda_m\leqslant \mu$, và do đó

$\lambda_m\leqslant_z$inf$_{\in C-\{0\}}$ inf$\{\mu|z\leqslant \mu u(z)\}$.

j) Ánh xạ $\lambda \mapsto x(\lambda )$ (trong đó $x(\lambda )$ được xác định trong câu hỏi a)) là tăng.

k) Ánh xạ $\lambda \mapsto x(\lambda )$ không có giới hạn khi $\lambda$ tiến tới $\lambda_m$. Chính xác hơn, nếu $(\lambda_n)_n$ là một dãy của $U_f$ tiến tới $\lambda_m$, thì dãy $(x(\lambda_n))_n$ không hội tụ.