Exercice 27, § 6

On suppose que les hypothèses (i) à (v) sont satisfaites.

a) Démontrer que l’ensemble des $x(\lambda )$, pour $\lambda \in U_f$, n’est pas borné. b) Soit $d$ une distance sur E qui définit sa topologie. Pour $\lambda \in \mathbf{R}_+$, on note $\widehat{x}(\lambda ) =d(0, x(\lambda ))^{-1}x(\lambda )$. Démontrer que l’application $\widehat{x}$ est bornée et que l’ensemble des valeurs de $\widehat{x}$ possède une valeur d’adhérence $x_m$ telle que

(i) $d(0, x_m) = 1$,

(ii) $x_m=\lambda_mu(x_m)$,

(iii) $x_m\in \mathring{C}$.