Exercice 28, § 6

On suppose dans cet exercice que les conditions (i) à (iv) sont satisfaites. a) On fixe $x_0\in \mathring{C}$. Pour $\lambda \in U_f$, soit $A(\lambda ) =$ inf$\{M\in \mathbf{R}_+|x(\lambda )\preccurlyeq_CMx_0\}$. Soit $C_0\in \mathbf{R}_+$ tel que $f\preccurlyeq_CC_0u(x_0)$. Pour tout $\lambda$ dans $U_f$, l’intervalle $[\lambda , \lambda + C_0/A(\lambda )[$ est contenu dans $U_f($cf. exercice 26, question d)).

b) En déduire que la fonction $\lambda \mapsto A(\lambda )$ tend vers $+\infty$ quand $\lambda \in U_f$ tend vers $\lambda_m$.

Pour tout $\lambda$ dans $U_f$, on note $\widehat{x}(\lambda ) =x(\lambda )/A(\lambda )$.

On suppose désormais que la condition (vi) est vérifiée.

c) Prouver que l’ensemble des valeurs de l’application $\widehat{x}$ possède une valeur d’adhérence $x_m$ telle que

$0\preccurlyeq_Cx_m\preccurlyeq_Cx_0$ et $x_m=\lambda_mu(x_m)$.

d) Prouver que $x_m\not = 0$. (Si on avait $x_m= 0$, soit U un voisinage de 0 dans E tel que $x_0+ U\subset C$; pour tout $\mu\geqslant 0$, il existerait une suite $(\lambda_n)$ dans $U_f$ convergeant vers $\lambda_m$ telle $x_0-\mu\widehat{x}(\lambda_n)\succcurlyeq_C0$, en contradiction avec la définition de $A(\lambda ).$)

e) Soit $y\in C-\{0\}$ tel que $y=\lambda_mu(y)$. Posons $\theta =$ sup$\{\gamma |\gamma y\preccurlyeq_Cx_m\}$. On a $\theta \in \mathbf{R}^*_+$ et $x_m=\theta y$. (On a $\theta y\preccurlyeq_Cx_m$ et $\theta y=\lambda_mu(\theta y)$; si $x_m\not =\theta y$, alors on aurait $x_m-\theta y\succ_C0$ et il existerait $\varepsilon >0$ tel que $x_m-\theta y\succcurlyeq_C\varepsilon y$, en contradiction avec la définition de $\theta .$)

f ) Soient $y\in C-\{0\}$ et $\mu\in \mathbf{R}$ tel que $y=\mu u(y)$. On a alors $\mu=\lambda_m$. (Noter que $0< \mu$ et $\mu\geqslant \lambda_m$; si on avait $\mu > \lambda_m$, soit $\theta =$ sup$\{\gamma |\gamma x_m\preccurlyeq_Cy\}$; on aurait alors $\theta \in \mathbf{R}_+^*$, puis $\theta x_m\preccurlyeq_Cy$, d’où $\theta x_m=\lambda_mu(\theta x_m)\prec_C\mu u(\theta x_m)\preccurlyeq_C$ $\mu u(y) =y$, en contradiction avec la définition de $\theta .$)