Bài tập 28, § 6

Trong bài tập này giả sử rằng các điều kiện (i) đến (iv) được thỏa mãn. (a) Ta cố định $x_0\in \mathring{C}$. Với $\lambda \in U_f$, đặt $A(\lambda ) =$ inf$\{M\in \mathbf{R}_+|x(\lambda )\preccurlyeq_CMx_0\}$. Cho $C_0\in \mathbf{R}_+$ sao cho $f\preccurlyeq_CC_0u(x_0)$. Với mọi $\lambda$ trong $U_f$, khoảng $[\lambda , \lambda + C_0/A(\lambda )[$ được chứa trong $U_f($xem bài tập 26, câu d)).

(b) Suy ra rằng hàm $\lambda \mapsto A(\lambda )$ tiến tới $+\infty$ khi $\lambda \in U_f$ tiến tới $\lambda_m$.

Với mọi $\lambda$ trong $U_f$, ta ký hiệu $\widehat{x}(\lambda ) =x(\lambda )/A(\lambda )$.

Bây giờ ta giả sử rằng điều kiện (vi) được thỏa mãn.

(c) Chứng minh rằng tập hợp các giá trị của ánh xạ $\widehat{x}$ có một giá trị tụ $x_m$ sao cho

$0\preccurlyeq_Cx_m\preccurlyeq_Cx_0$ và $x_m=\lambda_mu(x_m)$.

(d) Chứng minh rằng $x_m\not = 0$. (Nếu có $x_m= 0$, lấy U là một lân cận của 0 trong E sao cho $x_0+ U\subset C$; với mọi $\mu\geqslant 0$, sẽ tồn tại một dãy $(\lambda_n)$ trong $U_f$ hội tụ đến $\lambda_m$ sao cho $x_0-\mu\widehat{x}(\lambda_n)\succcurlyeq_C0$, mâu thuẫn với định nghĩa của $A(\lambda ).$)

(e) Cho $y\in C-\{0\}$ sao cho $y=\lambda_mu(y)$. Đặt $\theta =$ sup$\{\gamma |\gamma y\preccurlyeq_Cx_m\}$. Ta có $\theta \in \mathbf{R}^*_+$ và $x_m=\theta y$. (Ta có $\theta y\preccurlyeq_Cx_m$ và $\theta y=\lambda_mu(\theta y)$; nếu $x_m\not =\theta y$, thì ta sẽ có $x_m-\theta y\succ_C0$ và sẽ tồn tại $\varepsilon >0$ sao cho $x_m-\theta y\succcurlyeq_C\varepsilon y$, mâu thuẫn với định nghĩa của $\theta .$)

(f) Cho $y\in C-\{0\}$ và $\mu\in \mathbf{R}$ sao cho $y=\mu u(y)$. Khi đó ta có $\mu=\lambda_m$. (Chú ý rằng $0< \mu$ và $\mu\geqslant \lambda_m$; nếu có $\mu > \lambda_m$, đặt $\theta =$ sup$\{\gamma |\gamma x_m\preccurlyeq_Cy\}$; khi đó ta sẽ có $\theta \in \mathbf{R}_+^*$, rồi $\theta x_m\preccurlyeq_Cy$, do đó $\theta x_m=\lambda_mu(\theta x_m)\prec_C\mu u(\theta x_m)\preccurlyeq_C$ $\mu u(y) =y$, mâu thuẫn với định nghĩa của $\theta .$)