Exercice 29, § 6

On reprend les notations de l’exercice précédent ; en particulier, on suppose que C est d’intérieur non vide. On suppose que $u$ est une application linéaire et que les conditions (i), (ii) et (iii) sont satisfaites.

a) Si $u$ est un endomorphisme compact de E, alors les conditions (iv) et (v) sont satisfaites.

On suppose que les conditions (iv) et (vi) sont vérifiées. Soit $(\lambda_m, x_m)$ donné par l’exercice précédent.

b) Pour tout $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $\lambda < \lambda_m$, l’endomorphisme $1_E-\lambda u$ est inversible. (Montrer d’abord que $1_E-\lambda u$ induit par passage aux sous-espaces une bijection de $\mathring{C}$, cf. questions a) et f) de l’exercice précédent ; en déduire ensuite que $1_E-\lambda u$ est surjectif, puis qu’il est injectif en écrivant $x_1-x_2$ un élément du noyau de $1_E-\lambda u$, avec $x_i\in \mathring{C}$, et en vérifiant qu’il existe $z\in E$ tel que $x_1+z-\lambda u(x_1+z)\in \mathring{C}.)$

c) Soit $y$ dans E tel que $y=\lambda_mu(y)$. On a alors $y\in C$. (Il existe $c$ tel que $cx_m+y\succ_C0$; conclure à l’aide de la question e) de l’exercice précédent.) d) Soit $C^{\circ}\subset E'$ le polaire de C. Pour tout $x\in \mathring{C}$ et pour tout $\xi \in C^{\circ}-\{0\}$, on a $\langle x, \xi \rangle >0$.

e) Le polaire $C^{\circ}$ de C est préservé par $^tu: E'\rightarrow E'$; pour tout $\lambda \in \mathbf{R}_+$ tel que $\lambda < \lambda_m$, l’endomorphisme $1_{E'}-\lambda^tu$ de $E'$ est un isomorphisme.