Bài tập 29, § 6

Ta lấy lại các ký hiệu của bài tập trước; đặc biệt, ta giả sử rằng C có phần trong khác rỗng. Ta giả sử rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính và các điều kiện (i), (ii) và (iii) được thỏa mãn.

(a) Nếu $u$ là một tự đồng cấu compact của E, thì các điều kiện (iv) và (v) được thỏa mãn.

Ta giả sử rằng các điều kiện (iv) và (vi) được kiểm chứng. Cho $(\lambda_m, x_m)$ được cho bởi bài tập trước.

(b) Với mọi $\lambda \in \mathbf{R}_+$ sao cho $\lambda < \lambda_m$, tự đồng cấu $1_E-\lambda u$ là khả nghịch. (Bây giờ chứng minh trước hết rằng $1_E-\lambda u$ cảm sinh, bằng cách chuyển qua các không gian con, một song ánh của $\mathring{C}$, cf. các câu hỏi a) và f) của bài tập trước; suy ra sau đó rằng $1_E-\lambda u$ là toàn ánh, rồi rằng nó là đơn ánh bằng cách viết $x_1-x_2$ là một phần tử của hạt nhân của $1_E-\lambda u$, với $x_i\in \mathring{C}$, và bằng cách kiểm chứng rằng tồn tại $z\in E$ sao cho $x_1+z-\lambda u(x_1+z)\in \mathring{C}$.)

(c) Cho $y$ trong E sao cho $y=\lambda_mu(y)$. Khi đó ta có $y\in C$. (Tồn tại $c$ sao cho $cx_m+y\succ_C0$; kết luận với sự trợ giúp của câu hỏi e) của bài tập trước.) d) Cho $C^{\circ}\subset E'$ là đối cực của C. Với mọi $x\in \mathring{C}$ và mọi $\xi \in C^{\circ}-\{0\}$, ta có $\langle x, \xi \rangle >0$.

(e) Đối cực $C^{\circ}$ của C được bảo toàn bởi $^tu: E'\rightarrow E'$; với mọi $\lambda \in \mathbf{R}_+$ sao cho $\lambda < \lambda_m$, tự đồng cấu $1_{E'}-\lambda^tu$ của $E'$ là một đẳng cấu.