Exercice 4, § 6

Soit E un espace de Banach de type dénombrable. Soit $u\in \mathscr{L}(E)$. On suppose que la suite $(\|u^k\|)_{k\in\mathbf{N}}$ est bornée.

Pour tout $\lambda \in$ Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$, soit $x_{\lambda}\in E$ un vecteur propre de $u$ de norme 1 relatif à $\lambda$.

a) Pour tous $\lambda_1,\lambda_2$ dans Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$ et tout entier $k\in \mathbf{N}$, on a

b) Il existe un nombre réel $c >0$ tel que $\|x_{\lambda_1}-x_{\lambda_2}\|\geqslant c$ pour tous $\lambda_1\not =\lambda_2$ dans Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$.

c) L’ensemble Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$ est dénombrable (« théorème de Jamison »).

d) Le théorème de Jamison ne vaut pas en général si E n’est pas de type dénombrable.