Bài tập 4, § 6

Cho $E$ là một không gian Banach kiểu đếm được. Cho $u\in \mathscr{L}(E)$. Giả sử rằng dãy $(\|u^k\|)_{k\in\mathbf{N}}$ bị chặn.

Với mọi $\lambda \in$ Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$, cho $x_{\lambda}\in E$ là một vectơ thực sự của $u$ có chuẩn 1 ứng với $\lambda$.

a) Với mọi $\lambda_1,\lambda_2$ trong Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$ và mọi số nguyên $k\in \mathbf{N}$, ta có

b) Tồn tại một số thực $c >0$ sao cho $\|x_{\lambda_1}-x_{\lambda_2}\|\geqslant c$ với mọi $\lambda_1\not =\lambda_2$ trong Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$.

c) Tập hợp Sp($u$)$\cap \mathbf{U}$ là đếm được (« định lý Jamison »).

d) Định lý Jamison không đúng nói chung nếu $E$ không có kiểu đếm được.