Exercice 5, § 6

Le but de cet exercice est de donner une autre preuve du théorème de Lomonosov (cor. 2 de III, p. 13) dans le cas où l’espace E est un espace de Banach.

Soit E un espace de Banach complexe de dimension au moins 2. Soient $h$ un endomorphisme compact non nul de E et A le commutant de $h$ dans $\mathscr{L}(E)$. a) L’une des conditions suivantes est satisfaite :

(i) Il existe $y\in E$ tel que $Ay$ soit un sous-espace non nul qui n’est pas dense dans E ;

(ii) Pour toute partie fermée bornée C de A, d’intérieur non vide, il existe une partie finie I de A telle que $h(C)$ soit contenue dans la réunion des ensembles $\overset{-1}{u}(C)$ pour $u\in I$.

b) On suppose que la condition (ii) de la question précédente est satisfaite. Soit C une partie fermée bornée de E d’intérieur non vide. Pour tout entier $m\geqslant$ 1, il existe une suite finie $(u_1, . . . , u_m)$ dans A telle que

(Jouer au tennis de table.)

c) Sous la même hypothèse, montrer que le rayon spectral de $h$ n’est pas nul (dans le cas contraire, considérer un élément $x_0\in E$ tel que $\|h(x_0)\|>\|h\|$ et la boule fermée C de centre $x_0$ et de rayon $\|h\|$; en notant que $\|(\lambda h)^n\|$ tend vers 0 pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$, montrer que la conclusion de la question précédente impliquerait que 0 appartient à l’adhérence de C).

d) Pour tout endomorphisme de E qui commute avec un endomorphisme compact non nul de E, il existe un sous-espace fermé non nul $F\subset E$ différent de E tel que $u(F)\subset F$.