Bài tập 5, § 6

Mục đích của bài tập này là đưa ra một chứng minh khác của định lý Lomonosov (hệ quả 2 của III, p. 13) trong trường hợp không gian E là một không gian Banach.

Cho E là một không gian Banach phức có chiều ít nhất là 2. Cho $h$ là một tự đồng cấu compact khác không của E và cho A là hoán tập của $h$ trong $\mathscr{L}(E)$. a) Một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tồn tại $y\in E$ sao cho $Ay$ là một không gian con khác không không trù mật trong E ;

(ii) Với mọi tập con đóng bị chặn C của A, có phần trong khác rỗng, tồn tại một tập con hữu hạn I của A sao cho $h(C)$ được chứa trong hợp của các tập $\overset{-1}{u}(C)$ với $u\in I$.

b) Giả sử điều kiện (ii) của câu hỏi trước được thỏa mãn. Cho C là một tập con đóng bị chặn của E có phần trong khác rỗng. Với mọi số nguyên $m\geqslant$ 1, tồn tại một dãy hữu hạn $(u_1, . . . , u_m)$ trong A sao cho

(Chơi bóng bàn.)

c) Với cùng giả thiết, bây giờ chứng minh rằng bán kính phổ của $h$ không phải là không (nếu không, xét một phần tử $x_0\in E$ sao cho $\|h(x_0)\|>\|h\|$ và quả cầu đóng C có tâm $x_0$ và bán kính $\|h\|$; lưu ý rằng $\|(\lambda h)^n\|$ tiến tới 0 với mọi $\lambda \in \mathbf{R}$, bây giờ chứng minh rằng kết luận của câu hỏi trước sẽ suy ra rằng 0 thuộc vào bao đóng của C).

d) Với mọi tự đồng cấu của E giao hoán với một tự đồng cấu compact khác không của E, tồn tại một không gian con đóng khác không $F\subset E$ khác với E sao cho $u(F)\subset F$.