Exercice 6, § 6

Soit A une $\mathbf{Z}$-algèbre unitaire. On suppose que A est un $\mathbf{Z}$-module libre. Soit $\mathscr{B}$ une partie de A qui en est une base comme $\mathbf{Z}$-module. On dit que le couple $(A,\mathscr{B})$ est une algèbre naturelle si les constantes de structure de A par rapport à $\mathscr{B}$ (A, III, p. 10) appartiennent à $\mathbf{N}$ et si les coefficients de $1_A$ dans la base $\mathscr{B}$ appartiennent à $\mathbf{N}$. On dit de plus que $(A,\mathscr{B})$ est unie si $1_A$ est un élément de $\mathscr{B}$.

Soit $(A,\mathscr{B})$ une algèbre naturelle. Soit $\mathscr{B}_0$ l’ensemble des $b\in \mathscr{B}$ tels que le coefficient de $b$ dans $1_A$ n’est pas nul. On note $\tau_A$ l’unique morphisme de $\mathbf{Z}$-modules de A dans $\mathbf{Z}$ tel que, pour tout $b$ dans $\mathscr{B}$, on a $\tau_A(b) = 1$ si $b\in \mathscr{B}_0$, et $\tau_A(b) = 0$ sinon.

a) On a $\tau_A(xy) =\tau_A(yx)$ pour tous $(x, y)\in A^2$.

b) Pour tous $b\not =b'$ dans $\mathscr{B}_0$, on a $b^2=b$ et $bb'= 0$.