Bài tập 6, § 6

Cho A là một $\mathbf{Z}$-đại số có đơn vị. Ta giả sử rằng A là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do. Cho $\mathscr{B}$ là một tập con của A là một cơ sở của nó với tư cách là một $\mathbf{Z}$-môđun. Ta nói rằng cặp $(A,\mathscr{B})$ là một đại số tự nhiên nếu các hằng cấu trúc của A đối với $\mathscr{B}$ (A, III, p. 10) thuộc $\mathbf{N}$ và nếu các hệ số của $1_A$ trong cơ sở $\mathscr{B}$ thuộc $\mathbf{N}$. Ta còn nói rằng $(A,\mathscr{B})$ là hợp nhất nếu $1_A$ là một phần tử của $\mathscr{B}$.

Cho $(A,\mathscr{B})$ là một đại số tự nhiên. Cho $\mathscr{B}_0$ là tập hợp các $b\in \mathscr{B}$ sao cho hệ số của $b$ trong $1_A$ là không không. Ta ký hiệu $\tau_A$ là cấu xạ duy nhất của các $\mathbf{Z}$-môđun từ A vào $\mathbf{Z}$ sao cho, với mọi $b$ trong $\mathscr{B}$, ta có $\tau_A(b) = 1$ nếu $b\in \mathscr{B}_0$, và $\tau_A(b) = 0$ trong trường hợp ngược lại.

a) Ta có $\tau_A(xy) =\tau_A(yx)$ với mọi $(x, y)\in A^2$.

b) Với mọi $b\not =b'$ trong $\mathscr{B}_0$, ta có $b^2=b$ và $bb'= 0$.