Exercice 7, § 6

Soit $(A,\mathscr{B})$ une algèbre naturelle.

a) Il existe au plus une involution $\iota$ de $\mathscr{B}$ telle que l’unique homomorphisme $\mathbf{Z}$-modules de A dans A tel que $b\mapsto \iota (b)$ soit un anti-automorphisme de A vérifiant la condition $\tau_A(bb') = 1$ si $b'=\iota (b)$ et $\tau_A(bb') = 0$ sinon.

Lorsque qu’une telle involution $\iota$ existe, on dit que $(A,\mathscr{B})$ est une algèbre naturelle basale.

On suppose désormais que $(A,\mathscr{B})$ est une algèbre naturelle basale.

b) On a alors $\iota (b) =b$ pour tout $b\in \mathscr{B}_0$, ainsi que la formule

c) Les constantes de structure $\gamma_{bb'}^{b''}$ de A vérifient $\gamma_{bb'}^{\iota(b'')}=\tau_A(bb'b'')$ pour $(b, b', b'')$ dans $\mathscr{B}$.