Bài tập 7, § 6

Cho $(A,\mathscr{B})$ là một đại số tự nhiên.

a) Tồn tại nhiều nhất một phép đối hợp $\iota$ của $\mathscr{B}$ sao cho đồng cấu của các môđun $\mathbf{Z}$ duy nhất từ A vào A xác định bởi $b\mapsto \iota (b)$ là một tự đẳng cấu phản của A thỏa mãn điều kiện $\tau_A(bb') = 1$ nếu $b'=\iota (b)$ và $\tau_A(bb') = 0$ trong trường hợp ngược lại.

Khi một phép đối hợp $\iota$ như vậy tồn tại, $(A,\mathscr{B})$ được gọi là một đại số tự nhiên cơ sở.

Từ đây về sau, giả sử rằng $(A,\mathscr{B})$ là một đại số tự nhiên cơ sở.

b) Khi đó có $\iota (b) =b$ với mọi $b\in \mathscr{B}_0$, cũng như công thức

c) Các hằng cấu trúc $\gamma_{bb'}^{b''}$ của A thỏa mãn $\gamma_{bb'}^{\iota(b'')}=\tau_A(bb'b'')$ với $(b, b', b'')$ trong $\mathscr{B}$.