Exercice 8, § 6

Soit $(A,\mathscr{B})$ une algèbre naturelle basale telle que A soit de rang fini.

a) Pour tout $x\in A$, l’élément

est central.

Dans la suite de cet exercice, on suppose de plus que $(A,\mathscr{B})$ est unie.

b) Pour tous $b,b'$ dans $\mathscr{B}$, il existe $b_1$ et $b_2$ dans $\mathscr{B}$ tels que le coefficient de $b'$ dans $bb_1$ et dans $b_2b$ est non nul.

c) Pour tout $x\in \mathscr{B}$, la matrice représentant dans la base $\mathscr{B}$ l’application $y\mapsto xy$ de A dans A est une matrice réelle dont tout les coefficients sont positifs. On note pf l’unique homomorphisme de A dans $\mathbf{R}$ tel que pf($b$) est le rayon spectral de cette matrice quand $b\in \mathscr{B}$.

d) Pour tout $b\in \mathscr{B}$, le nombre réel $\alpha =$ pf($b$) est un entier algébrique tel que $\alpha \geqslant 1$; pour tout conjugué $\alpha '\in \mathbf{C}$ de $\alpha$, on a $|\alpha '|\leqslant \alpha$.

e) Soit $a_0\in A$ la somme des éléments de $\mathscr{B}$. Tout les coefficients de la matrice représentant l’application $f:y\mapsto ya_0$ dans la base $\mathscr{B}$ sont strictement positifs. Il existe un élément $r\in \mathbf{C}\otimes A$ dont tout les coefficients dans la base $(1\otimes b)_{b\in\mathscr{B}}$ sont strictement positifs tel que $f_{\mathbf{C}}(r) =\varrho (f_{\mathbf{C}})r$. f) Pour tout $x\in A$, il existe un unique nombre complexe $\delta (x)$ tel que $xr=$ $\delta (x)r$ dans $\mathbf{C}\otimes A$. L’application $\delta : A\rightarrow \mathbf{C}$ est un caractère de A.

g) On a $\delta (x) =$ pf($x$) pour tout $x\in A$. En particulier, l’application $x\mapsto$ pf($x$) est un caractère de A.

h) L’application pf est l’unique caractère de A tel que pf($b$)$\geqslant 0$ pour tout $b\in \mathscr{B}$; on a de plus pf($b$)$>0$ pour tout $b\in \mathscr{B}$.

i) Pour tout $y\in A$, on a $ry=\delta (y)r$ dans $\mathbf{C}\otimes A$.

j) L’élément

$r_0=\sum_{b\in\mathscr{B}}$ pf($b$)$b$

possède les propriétés demandées à la question i).