Bài tập 8, § 6

Cho $(A,\mathscr{B})$ là một đại số cơ sở tự nhiên sao cho A có hạng hữu hạn.

a) Với mọi $x\in A$, phần tử

là trung tâm.

Trong phần còn lại của bài tập này, giả sử thêm rằng $(A,\mathscr{B})$ là có đơn vị.

b) Với mọi $b,b'$ trong $\mathscr{B}$, tồn tại $b_1$ và $b_2$ trong $\mathscr{B}$ sao cho hệ số của $b'$ trong $bb_1$ và trong $b_2b$ là khác không.

c) Với mọi $x\in \mathscr{B}$, ma trận biểu diễn theo cơ sở $\mathscr{B}$ của ánh xạ $y\mapsto xy$ từ A vào A là một ma trận thực mà tất cả các hệ số của nó đều dương. Ta ký hiệu pf là đồng cấu duy nhất từ A vào $\mathbf{R}$ sao cho pf($b$) là bán kính phổ của ma trận này khi $b\in \mathscr{B}$.

d) Với mọi $b\in \mathscr{B}$, số thực $\alpha =$ pf($b$) là một số nguyên đại số sao cho $\alpha \geqslant 1$; với mọi liên hợp $\alpha '\in \mathbf{C}$ của $\alpha$, ta có $|\alpha '|\leqslant \alpha$.

e) Cho $a_0\in A$ là tổng các phần tử của $\mathscr{B}$. Tất cả các hệ số của ma trận biểu diễn ánh xạ $f:y\mapsto ya_0$ theo cơ sở $\mathscr{B}$ đều dương ngặt. Tồn tại một phần tử $r\in \mathbf{C}\otimes A$ mà tất cả các hệ số của nó theo cơ sở $(1\otimes b)_{b\in\mathscr{B}}$ đều dương ngặt sao cho $f_{\mathbf{C}}(r) =\varrho (f_{\mathbf{C}})r$.

f) Với mọi $x\in A$, tồn tại một số phức duy nhất $\delta (x)$ sao cho $xr=$ $\delta (x)r$ trong $\mathbf{C}\otimes A$. Ánh xạ $\delta : A\rightarrow \mathbf{C}$ là một đặc trưng của A.

g) Có $\delta (x) =$ pf($x$) với mọi $x\in A$. Đặc biệt, ánh xạ $x\mapsto$ pf($x$) là một đặc trưng của A.

h) Ánh xạ pf là đặc trưng duy nhất của A sao cho pf($b$)$\geqslant 0$ với mọi $b\in \mathscr{B}$; hơn nữa, ta có pf($b$)$>0$ với mọi $b\in \mathscr{B}$.

i) Với mọi $y\in A$, ta có $ry=\delta (y)r$ trong $\mathbf{C}\otimes A$.

j) Phần tử

$r_0=\sum_{b\in\mathscr{B}}$ pf($b$)$b$

có các tính chất được yêu cầu trong câu hỏi i).