Exercice 9, § 6

a) Soient $n$ un entier et $M$ une matrice carrée à coefficients dans $\mathbf{N}$. On suppose que $\varrho(M^{t}M) = \varrho(M)^{2}$ et que $|\varrho(M)|<2$. Il existe un entier $m\geqslant 2$ tel que $\varrho(M) = 2\cos(\pi /m)$. (Utiliser le théorème de Kronecker, cf. A, V, p. 155, exercice 17.)

b) Pour tout entier $m\geqslant 2$, il existe une matrice carrée $M$ à coefficients dans $\mathbf{N}$ telle que $\varrho(M) = 2\cos(\pi /m)$.

c) Soit $(A,\mathscr{B})$ une algèbre naturelle unie basale de rang fini. Soit $b\in \mathscr{B}$. Si $\mathrm{pf}(b)<2$, alors il existe un entier $m\geqslant 3$ tel que $\mathrm{pf}(b) = 2\cos(\pi /m)$.

Les exercices 10 à 24 proposent une autre démonstration du corollaire 5 de III, p. 100 ainsi que certains raffinements. On y utilisera les notions suivantes.

Soit I un ensemble fini et soit $n$ son cardinal.

– On note $1_I$ la matrice réelle unité de type $(I,I)$.

– Une matrice carrée de type $(I,I)$ à coefficients réels est dite positive si tous ses coefficients sont $\geqslant 0$ et strictement positive si tous ses coefficients sont $>0$.

– Une matrice carrée $(a_{ij})_{i,j\in I}$ de type $(I,I)$ à coefficients réels est dite réductible s’il existe une partition de I en deux sous-ensembles $I'$ et $I''$ non vides telle que $a_{ij}= 0$ pour tout $(i, j)\in I'\times I''$; elle est dite irréductible si elle n’est pas réductible.

– On appelle sous-espace de coordonnées de $\mathbf{R}^I$ tout sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^I$ engendré par un sous-ensemble de vecteurs de la base canonique. Il y a $2^n$ sous-espaces de coordonnées ; pour chaque entier $k\in \{0, . . . , n\}$, ceux d’entre eux qui sont de dimension $k$ sont au nombre de $(^n_k)$.

Une matrice réelle de type $(I,I)$ est donc irréductible si et seulement si les seuls sous-espaces de coordonnées qu’elle stabilise sont $\{0\}$ et $\mathbf{R}^I$.

Pour tous $x$ et $y$ dans $\mathbf{R}^I$ on écrira $x\preccurlyeq y$ (et $y\succcurlyeq x$) si $y-x$ est dans le cône des éléments de $\mathbf{R}^I$ à coordonnées positives, c’est-à-dire si $x_i\leqslant y_i$ pour tout $i\in I$. On écrira $x\prec y$ (et $y\succ x$) si toutes les coordonnées de $y-x$ sont strictement positives.