Bài tập 9, § 6

(a) Cho $n$ là một số nguyên và $M$ là một ma trận bình phương với các hệ số trong $\mathbf{N}$. Giả sử rằng $\varrho(M^{t}M) = \varrho(M)^{2}$ và $|\varrho(M)|<2$. Tồn tại một số nguyên $m\geqslant 2$ sao cho $\varrho(M) = 2\cos(\pi /m)$. (Dùng định lý Kronecker, xem A, V, p. 155, Bài tập 17.)

(b) Với mọi số nguyên $m\geqslant 2$, tồn tại một ma trận bình phương $M$ với các hệ số trong $\mathbf{N}$ sao cho $\varrho(M) = 2\cos(\pi /m)$.

(c) Cho $(A,\mathscr{B})$ là một đại số cơ sở có đơn vị tự nhiên hạng hữu hạn. Cho $b\in \mathscr{B}$. Nếu pf($b$)$<2$, thì tồn tại một số nguyên $m\geqslant 3$ sao cho pf($b$) $= 2$ cos($\pi /m$).

Các Bài tập 10 đến 24 đưa ra một chứng minh khác của Hệ quả 5 của III, p. 100 cũng như một số tinh chỉnh. Các khái niệm sau sẽ được sử dụng.

Cho I là một tập hợp hữu hạn và cho $n$ là lực lượng của nó.

– Ta ký hiệu bởi $1_I$ ma trận đơn vị thực kiểu $(I,I)$.

– Một ma trận bình phương kiểu $(I,I)$ với các hệ số thực được gọi là dương nếu tất cả các hệ số của nó là $\geqslant 0$ và dương ngặt nếu tất cả các hệ số của nó là $>0$.

– Một ma trận bình phương $(a_{ij})_{i,j\in I}$ kiểu $(I,I)$ với các hệ số thực được gọi là khả quy nếu tồn tại một phân hoạch của I thành hai tập con không rỗng $I'$ và $I''$ sao cho $a_{ij}= 0$ với mọi $(i, j)\in I'\times I''$; nó được gọi là bất khả quy nếu nó không khả quy.

– Ta gọi là không gian con tọa độ của $\mathbf{R}^I$ mọi không gian con vectơ của $\mathbf{R}^I$ được sinh bởi một tập con các vectơ của cơ sở chính tắc. Có $2^n$ không gian con tọa độ; với mỗi số nguyên $k\in \{0, . . . , n\}$, những không gian trong số đó có chiều $k$ có số lượng là $(^n_k)$.

Một ma trận thực kiểu $(I,I)$ do đó là bất khả quy khi và chỉ khi các không gian con tọa độ duy nhất mà nó ổn định là $\{0\}$ và $\mathbf{R}^I$.

Với mọi $x$ và $y$ trong $\mathbf{R}^I$, ta sẽ viết $x\preccurlyeq y$ (và $y\succcurlyeq x$) nếu $y-x$ thuộc nón các phần tử của $\mathbf{R}^I$ có các tọa độ dương, nghĩa là nếu $x_i\leqslant y_i$ với mọi $i\in I$. Ta sẽ viết $x\prec y$ (và $y\succ x$) nếu tất cả các tọa độ của $y-x$ đều dương ngặt.