Exercice 1, § 1

Soit E = $\ell^2_{\mathbf{C}}(\mathbf{N})$ et soit $u\in \mathscr{L}(E)$ l’endomorphisme tel que $u(x_0, . . . , x_n, . . .) = (0, x_0, . . . , x_n, . . .)$ pour tout $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ dans E. Soit $(e_n)$ la base orthonormale canonique de E.

a) Pour tout $v\in \mathscr{L}(E)$ tel que $\|v\|<1/2$, le vecteur $e_0$ n’est pas adhérent à l’image de $u+v$.

b) La boule ouverte dans $\mathscr{L}(E)$ de rayon $1/2$ centrée en $u$ ne contient aucun endomorphisme diagonalisable de E.