Bài tập 1, § 1

Cho $E = \ell^2_{\mathbf{C}}(\mathbf{N})$ và cho $u\in \mathscr{L}(E)$ là tự đồng cấu sao cho $u(x_0, . . . , x_n, . . .) = (0, x_0, . . . , x_n, . . .)$ với mọi $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ trong E. Cho $(e_n)$ là cơ sở trực chuẩn chính tắc của E.

a) Với mọi $v\in \mathscr{L}(E)$ sao cho $\|v\|<1/2$, vectơ $e_0$ không là điểm dính của ảnh của $u+v$.

b) Quả cầu mở trong $\mathscr{L}(E)$ bán kính $1/2$ tâm tại $u$ không chứa tự đồng cấu chéo hóa được nào của E.