Exercice 10, § 1

Soit E un espace hilbertien complexe. Soit A une sous-algèbre stellaire de $\mathscr{L}(E)$. Supposons que la représentation de A dans E soit irréductible et que A contienne un endomorphisme compact non nul.

a) L’algèbre stellaire A contient un projecteur non nul de rang fini. (Montrer que A contient un endomorphisme compact hermitien non nul et appliquer le calcul fonctionnel.)

b) L’algèbre stellaire A contient un projecteur de rang 1. (Si $p\in A$ est un projecteur non nul de rang minimal, montrer que l’algèbre $pAp$ est contenue dans $\mathbf{C}p.$)

c) En déduire que A contient $\mathscr{L}^c(E)$.

d) Réciproquement, toute sous-algèbre stellaire de $\mathscr{L}(E)$ contenant $\mathscr{L}^c(E)$ est irréductible.