Bài tập 10, § 1

Cho $E$ là một không gian Hilbert phức. Cho $A$ là một đại số sao của $\mathscr{L}(E)$. Giả sử rằng biểu diễn của A trong E là bất khả quy và rằng A chứa một tự đồng cấu compact khác không.

(a) Đại số sao A chứa một phép chiếu khác không có hạng hữu hạn. (Bây giờ chứng minh rằng A chứa một tự đồng cấu Hermit compact khác không và áp dụng phép tính phiếm hàm.)

(b) Đại số sao A chứa một phép chiếu hạng 1. (Nếu $p\in A$ là một phép chiếu khác không có hạng cực tiểu, chứng minh rằng đại số $pAp$ được chứa trong $\mathbf{C}p.$)

(c) Suy ra rằng A chứa $\mathscr{L}^c(E)$.

(d) Ngược lại, mọi đại số sao của $\mathscr{L}(E)$ chứa $\mathscr{L}^c(E)$ đều là bất khả quy.