Exercice 11, § 1

Soit E un espace hilbertien complexe. Soit $A\subset \mathscr{L}(E)$ un ensemble d’endomorphismes compacts tel que $u\circ v=v\circ u$ pour tout couple $(u, v)$ d’éléments de A et $u^*\in A$ pour tout $u\in A$.

Montrer qu’il existe une famille orthonormale dénombrable $(e_i)_{i\in I}$ et une famille $(\Lambda_i)_{i\in I}$ d’applications $A\rightarrow \mathbf{C}$ telles que

pour tout élément $u$ de A et tout $x$ dans E. Si A est une sous-algèbre unifère de $\mathscr{L}$ (E), alors $\Lambda_i$ est un caractère de A pour tout $i\in I$.