Bài tập 11, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho $A\subset \mathscr{L}(E)$ là một tập hợp các tự đồng cấu compact sao cho $u\circ v=v\circ u$ đối với mọi cặp $(u, v)$ các phần tử của A và $u^*\in A$ đối với mọi $u\in A$.

Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một họ trực chuẩn đếm được $(e_i)_{i\in I}$ và một họ $(\Lambda_i)_{i\in I}$ các ánh xạ $A\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho

đối với mọi phần tử $u$ của A và mọi $x$ trong E. Nếu A là một đại số con có đơn vị của $\mathscr{L}$ (E), thì $\Lambda_i$ là một đặc trưng của A đối với mọi $i\in I$.