Exercice 13, § 1

Soient E un espace hilbertien complexe de type dénombrable, $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une base orthonormale de E et $u$ un endomorphisme de E. Montrer que $u$ est compact si et seulement si on a

lim$_{n\rightarrow+\infty x\in \{}$sup$_{e_0,...,e_{n-1}\}^{\circ}-\{0\}}\frac{\|u(x)\|^2}{\|x\|^2}= 0$.