Bài tập 13, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức kiểu đếm được, $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một cơ sở trực chuẩn của E và $u$ là một tự đồng cấu của E. Bây giờ chứng minh rằng $u$ là compact khi và chỉ khi ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty x\in \{}$sup$_{e_0,...,e_{n-1}\}^{\circ}-\{0\}}\frac{\|u(x)\|^2}{\|x\|^2}= 0$.