Exercice 15, § 1

Soient X un espace topologique localement compact, $\mu$ une mesure positive bornée sur X de support X, et $N\in \mathscr{C}_b(X\times X)$. a) Il existe un endomorphisme $u$ de $\mathscr{C}_b(X)$ tel que

pour toute fonction $f\in \mathscr{C}_b(X)$ et tout $y\in X$. On suppose dans la suite que $u$ est compact; c’est le cas par exemple si l’espace X est compact.

b) L’image de $u_N$ est contenue dans $\mathscr{C}_b(X)$ et $u_N$ définit une application linéaire continue de $L^2_{\mathbf{C}}(X)$ dans $\mathscr{C}_b(X)$.

c) Soient $f\in L^2_{\mathbf{C}}(X)$ et $\lambda \in \mathbf{C}^*$ tels que $u_N(f) =\lambda f$. Alors $f\in \mathscr{C}_b(X)$.

d) Il existe une famille dénombrable $(f_i)_{i\in I}$ dans $\mathscr{C}_b(X)$ et une famille $(\lambda_i)_{i\in I}$ de nombres réels non nuls telles que pour tout $f\in L^2_{\mathbf{C}}$(X), on a

dans $\mathscr{C}_b(X)$.

e) On suppose que $u_N$ est un endomorphisme positif de $L^2_{\mathbf{C}}(X)$. Pour tout $i\in I$, on note $h_i\in \mathscr{C}_b(X\times X)$ la fonction définie par $h_i(x, y) =\overline{f_i(x)}f_i(y)$. Alors

dans $\mathscr{C}(X\times X)$ muni de la topologie de la convergence compacte. (Démontrer que la série converge en utilisant le théorème de Dini (TG, X, p. 34, th. 1), puis démontrer l’égalité.)