Bài tập 15, § 1

Cho X là một không gian tôpô compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên X có giá đỡ X, và $N\in \mathscr{C}_b(X\times X)$. a) Tồn tại một tự đồng cấu $u$ của $\mathscr{C}_b(X)$ sao cho

với mọi hàm $f\in \mathscr{C}_b(X)$ và mọi $y\in X$. Trong phần tiếp theo, ta giả sử rằng $u$ là compact; điều này xảy ra chẳng hạn nếu không gian X là compact.

b) Ảnh của $u_N$ được chứa trong $\mathscr{C}_b(X)$ và $u_N$ xác định một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $L^2_{\mathbf{C}}(X)$ vào $\mathscr{C}_b(X)$.

c) Cho $f\in L^2_{\mathbf{C}}(X)$ và $\lambda \in \mathbf{C}^*$ sao cho $u_N(f) =\lambda f$. Khi đó $f\in \mathscr{C}_b(X)$.

d) Tồn tại một họ đếm được $(f_i)_{i\in I}$ trong $\mathscr{C}_b(X)$ và một họ $(\lambda_i)_{i\in I}$ gồm các số thực khác không sao cho với mọi $f\in L^2_{\mathbf{C}}$(X), ta có

trong $\mathscr{C}_b(X)$.

e) Ta giả sử rằng $u_N$ là một tự đồng cấu dương của $L^2_{\mathbf{C}}(X)$. Với mỗi $i\in I$, ta ký hiệu bởi $h_i\in \mathscr{C}_b(X\times X)$ hàm được xác định bởi $h_i(x, y) =\overline{f_i(x)}f_i(y)$. Khi đó

trong $\mathscr{C}(X\times X)$ được trang bị tôpô hội tụ compact. (Chứng minh rằng chuỗi hội tụ bằng cách sử dụng định lý Dini (TG, X, p. 34, th. 1), sau đó chứng minh đẳng thức.)