Exercice 16, § 1

Soit $X = [0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue.

a) Pour toute suite $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de fonctions continues sur X qui est orthonormale dans $L^2_{\mathbf{C}}$(X), il existe un noyau $k\in \mathscr{C}(X\times X)$ tel que

a) L’endomorphisme $u_k$ de $L^2_{\mathbf{C}}(X)$ est positif ;

b) Pour tout $n\in \mathbf{N}$, la fonction $f_n$ est une fonction propre de $u_k$ dont la valeur propre est non nulle ;

c) La famille $(f_n)$ est une base de l’image de l’endomorphisme $u_k$.

b) Il existe des noyaux $k\in \mathscr{C}(X\times X)$ et des familles orthonormales de fonctions propres $(f_n)$ de l’endomorphisme $u_k$ de $L^2_{\mathbf{C}}$(X), formées de fonctions bornées, telles que la suite $(\|f_n\|_{\infty})$ ne soit pas bornée.