Bài tập 16, § 1

Cho $X = [0,1]$ được trang bị độ đo Lebesgue.

a) Với mọi dãy $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các hàm liên tục trên X, trực chuẩn trong $L^2_{\mathbf{C}}$(X), tồn tại một hạt nhân $k\in \mathscr{C}(X\times X)$ sao cho

a) Tự đồng cấu $u_k$ của $L^2_{\mathbf{C}}(X)$ là dương ;

b) Với mọi $n\in \mathbf{N}$, hàm $f_n$ là một hàm thực sự của $u_k$ có trị riêng khác không ;

c) Họ $(f_n)$ là một cơ sở của ảnh của tự đồng cấu $u_k$.

b) Tồn tại các hạt nhân $k\in \mathscr{C}(X\times X)$ và các họ trực chuẩn của các hàm thực sự $(f_n)$ của tự đồng cấu $u_k$ của $L^2_{\mathbf{C}}$(X), được tạo thành từ các hàm bị chặn, sao cho dãy $(\|f_n\|_{\infty})$ không bị chặn.