Exercice 20, § 1

Soit E un espace préhilbertien, soit F un espace de Banach et soit $u: E\rightarrow F$ une application linéaire.

a) Démontrer que $u$ est une application linéaire compacte si et seulement si $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$ pour toute suite orthonormale $(e_n)$ de E. (Pour démontrer que cette condition est suffisante, utiliser TG, IX, p. 20, prop. 14.)

b) On suppose que E est un espace hilbertien de type dénombrable et que F = E. Pour qu’il existe une base orthonormale $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de E telle que $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$, il faut et il suffit que $u$ ne soit pas un endomorphisme de Fredholm.

c) On suppose que E est un espace hilbertien et que F = E. Si on a $\langle u(e_n)|e_n\rangle \rightarrow 0$ pour toute suite orthonormale $(e_n)$ de E, alors $u$ est une application linéaire compacte.